Задание 6 ЕГЭ-2027 по профильной математике: случайные величины

Задание 6 — главная новость профильной математики ЕГЭ-2027. Такой позиции в экзамене не было никогда: тема пришла из школьного курса вероятности и статистики и сразу получила отдельное задание.

Разбираемся, что именно спрашивают и как это решать.

Что говорит спецификация

Формулировка ФИПИ длинная, но её стоит прочитать целиком — там есть то, о чём в новостях обычно не пишут:

Умение оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение случайной величины, функции распределения и плотности равномерного, показательного и нормального распределений; умение использовать свойства изученных распределений для решения задач.

Обрати внимание на вторую половину. В коротких пересказах изменений обычно называют только математическое ожидание и дисперсию — а в спецификации есть ещё три конкретных распределения. Это заметно больше материала.

Параметры задания:

• Часть 1, краткий ответ
• Уровень сложности — повышенный (не базовый)
• 1 балл
• Нормативное время для профильного уровня — 8 минут

Восемь минут на задание первой части — это много. Для сравнения: на задание 1 по планиметрии отводится 3 минуты, на задание 4 по вероятности — 2. Дороже задания 6 в первой части только задание 13.

Дискретная случайная величина: база

Случайная величина — это величина, которая принимает разные числовые значения с разными вероятностями. Рост случайного прохожего, число орлов при ста бросках монеты, время ожидания автобуса.

Дискретная величина задаётся законом распределения — соответствием «значение → вероятность». Сумма всех вероятностей всегда равна 1, и это первая проверка, которую стоит делать.

Математическое ожидание — это среднее значение с учётом вероятностей:

M(X) = x₁·p₁ + x₂·p₂ + … + xₙ·pₙ

Дисперсия — мера разброса вокруг среднего. Считать её удобнее не по определению, а по формуле:

D(X) = M(X²) − (M(X))²

где M(X²) = x₁²·p₁ + x₂²·p₂ + … + xₙ²·pₙ

Стандартное отклонение — просто корень из дисперсии:

σ(X) = √D(X)

Пример

Случайная величина X принимает три значения:

• X = 1 — с вероятностью 0,2
• X = 2 — с вероятностью 0,5
• X = 5 — с вероятностью 0,3

Проверяем: 0,2 + 0,5 + 0,3 = 1. Хорошо.

M(X) = 1·0,2 + 2·0,5 + 5·0,3 = 0,2 + 1 + 1,5 = 2,7

M(X²) = 1·0,2 + 4·0,5 + 25·0,3 = 0,2 + 2 + 7,5 = 9,7

D(X) = 9,7 − 2,7² = 9,7 − 7,29 = 2,41

σ(X) = √2,41 ≈ 1,55

Свойства, которые экономят время

Половина задач решается не в лоб, а через свойства:

• M(aX + b) = a·M(X) + b
• D(aX + b) = a²·D(X) — прибавление константы дисперсию не меняет
• M(X + Y) = M(X) + M(Y) — всегда
• D(X + Y) = D(X) + D(Y) — только для независимых величин

Последний пункт — самая частая ловушка. Ожидание складывается всегда, дисперсия — только при независимости.

Биномиальное распределение

Классический сюжет: опыт повторяется n раз, в каждом успех наступает с вероятностью p. X — число успехов.

• M(X) = n·p
• D(X) = n·p·q, где q = 1 − p
• σ(X) = √(n·p·q)

Пример. Монету бросают 100 раз, X — число орлов.

M(X) = 100 · 0,5 = 50 D(X) = 100 · 0,5 · 0,5 = 25 σ(X) = 5

Это задача на 30 секунд, если формулы знаешь, и на десять минут мучений, если нет.

Непрерывные распределения

Здесь и лежит та часть спецификации, которую чаще всего пропускают.

Равномерное на отрезке [a; b]

Плотность постоянна и равна 1/(b − a).

• M(X) = (a + b)/2
• D(X) = (b − a)²/12

Пример. Автобус ходит строго каждые 12 минут, ты приходишь на остановку в случайный момент. Время ожидания равномерно распределено на [0; 12].

M(X) = 6 минут, D(X) = 144/12 = 12, σ ≈ 3,46

Показательное с параметром λ

Плотность: f(x) = λ·e^(−λx) при x ≥ 0.

• M(X) = 1/λ
• D(X) = 1/λ²
• P(X > t) = e^(−λt)

Пример. Время между звонками в колл-центр распределено показательно, в среднем 2 минуты. Значит λ = 0,5. Вероятность, что следующий звонок придёт позже чем через 4 минуты:

P(X > 4) = e^(−0,5·4) = e^(−2) ≈ 0,135

Нормальное

Задаётся двумя параметрами: средним a и стандартным отклонением σ. График — симметричная колокол-образная кривая с центром в a.

Главный рабочий инструмент — правило трёх сигм:

• в пределах a ± σ лежит примерно 68% значений
• в пределах a ± 2σ — примерно 95%
• в пределах a ± 3σ — примерно 99,7%

Пример. Рост юношей в популяции распределён нормально со средним 176 см и стандартным отклонением 6 см. Какая доля юношей имеет рост от 170 до 182 см?

170 и 182 — это ровно 176 ± 6, то есть a ± σ. Ответ: примерно 0,68.

Симметрия даёт ещё один приём: если нужна доля выше a + σ, это (1 − 0,68)/2 = 0,16.

Пять ошибок, на которых теряют балл

• Путают дисперсию и стандартное отклонение. Спросили σ — не забудь извлечь корень
• Складывают дисперсии зависимых величин. Проверяй независимость прежде, чем складывать
• Забывают возвести коэффициент в квадрат в D(aX + b) = a²D(X)
• Не проверяют сумму вероятностей. Если она не равна 1, где-то ошибка в чтении условия
• Путают параметр λ и среднее в показательном распределении. Среднее — это 1/λ, а не λ

Как выучить это за две-три недели

Тема выглядит объёмной, но она замкнутая: формул мало, сюжетов немного.

• Неделя 1. Дискретные величины: закон распределения, M(X), D(X), σ. Прорешать 20–30 задач руками, без калькулятора для формул
• Неделя 2. Свойства M и D, биномиальное распределение. Здесь важно набить руку на «складывать или нет»
• Неделя 3. Непрерывные распределения: равномерное, показательное, нормальное. Правило трёх сигм отработать до автоматизма

Учить это стоит одним блоком вместе с заданиями 4 и 5 — у них общий аппарат, и вместе они дают три первичных балла из 33. Разборы соседних заданий: задание 4 — вероятность, задание 5 — теоремы о вероятностях.

Где брать задачи

Здесь честная сложность первого года: прототипов по заданию 6 почти нет. Открытый банк ФИПИ ещё не наполнен, сборники печатались под нумерацию 2026 года.

Что работает сейчас:

• Демоверсия ЕГЭ-2027 с сайта fipi.ru — там образец задания
• Школьный учебник вероятности и статистики за 10–11 класс: тема в программе есть, задачи есть
• Задачники по теории вероятностей для вузов — первые главы про дискретные величины подходят напрямую
• Задания ОГЭ и ВПР по статистике — для отработки чтения данных о распределении

Полная карта всех 20 заданий с темами и баллами — здесь.

Если формулы не складываются в понимание ✌️

Типичная картина по этой теме: формулы выучены, а задача не решается, потому что непонятно, какая величина случайная и какое у неё распределение. Это не пробел в знаниях, а отсутствие насмотренности — а её в первый год после изменений набрать самому особенно трудно.

На РепетХаб можно найти репетитора по математике, который уже работает по демоверсиям 2027 года.

• Сервис для тебя бесплатный — ноль рублей за поиск, сообщения и отклики
• Первое занятие — бесплатно. Можно попробовать и спокойно не продолжать
• Пиши сразу нескольким и выбирай, с кем понятнее
• Мини-группы — заметно дешевле индивидуальных занятий, расписание и число свободных мест видно в объявлении
• Честные отзывы и рейтинг

Найти репетитора по математике ✌️