Задание 5 ЕГЭ по профильной математике: теоремы о вероятностях

Задание 5 — единственное место в первой части, где нужно не вспомнить формулу, а выбрать правильную. Отсюда и все потери.

Если свести всё к одному правилу, оно звучит так:

«И» — умножаем. «Или» — складываем.

Событие A и событие B произошли вместе → перемножаем вероятности. Событие A или событие B → складываем. Девять из десяти ошибок в задании 5 — это перепутанные «и» и «или».

Про 2027 год: 28 августа 2026 года ФИПИ опубликовал проекты демоверсий ЕГЭ-2027. Заданий стало 20 вместо 19, максимум — 33 балла. В первую часть добавлено новое задание 6 про случайные величины, математическое ожидание и дисперсию. Задание 5 осталось на месте, но теперь вероятность занимает три задания подряд — 4, 5 и 6.

Что нужно знать

Умножение — для независимых событий:

P(A и B) = P(A) · P(B)

Независимые — это когда наступление одного никак не влияет на другое. Два разных стрелка, два разных автомата, две разные лампочки.

Сложение — для несовместных событий:

P(A или B) = P(A) + P(B)

Несовместные — те, что не могут произойти одновременно.

Сложение в общем случае, когда события могут произойти вместе:

P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B)

Вычитание нужно, чтобы не посчитать пересечение дважды.

Противоположное событие:

P(не A) = 1 − P(A)

«Хотя бы один» — всегда через противоположное:

P(хотя бы один) = 1 − P(ни одного)

Формула полной вероятности — когда событие может прийти из нескольких источников:

P(A) = P(H₁)·P(A|H₁) + P(H₂)·P(A|H₂) + …

Три сюжета, которые дают почти все задачи

Серия испытаний. Стрелок, биатлонист, баскетболист бросает несколько раз.

Пример: вероятность попадания 0,8, пять выстрелов. Найти вероятность, что первые три попал, а последние два промахнулся.

Все выстрелы независимы, значит перемножаем: 0,8³ · 0,2² = 0,512 · 0,04 = 0,02048.

Два независимых объекта. Классический прототип про кофейные автоматы.

Два одинаковых автомата. Вероятность, что к концу дня кофе закончится в автомате — 0,3. Вероятность, что закончится в обоих — 0,12. Найти вероятность, что кофе останется в обоих.

Считаем в два шага. Сначала вероятность, что кофе закончится хотя бы в одном: 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48. Затем противоположное событие: 1 − 0,48 = 0,52.

Обрати внимание на вычитание 0,12 — без него получится 0,6, и ответ будет неверным. Это самая знаменитая ловушка задания 5.

Два источника. Формула полной вероятности.

Две фабрики выпускают стёкла: первая 45% всей продукции, вторая 55%. Брак у первой — 3%, у второй — 1%. Найти вероятность купить бракованное стекло.

P = 0,45 · 0,03 + 0,55 · 0,01 = 0,0135 + 0,0055 = 0,019

Схема одинаковая всегда: перебираем источники, у каждого перемножаем «вероятность источника» на «вероятность события внутри него», результаты складываем.

Универсальный инструмент — дерево

Если запутался, рисуй дерево вероятностей. От каждой точки — ветки со своими вероятностями.

Правило чтения дерева простое:

• Вдоль ветки — умножаем (это последовательность событий, то есть «и»)
• Между ветками — складываем (это разные варианты, то есть «или»)

Дерево превращает любую путаную задачу в механическую. Пять минут рисования надёжнее двадцати минут размышлений в уме.

Полезная проверка: сумма вероятностей всех веток из одной точки должна быть равна 1.

Где теряют балл

Складывают вместо умножения. Причина номер один. Держи в голове правило «и/или» и проверяй его на каждом шаге.

Забывают вычесть пересечение в формуле сложения для совместных событий. Ловушка с автоматами именно про это.

Перебирают вместо противоположного события. Увидел «хотя бы один» — сразу считай через 1 минус. Перебор случаев «один, два, три…» долгий и почти гарантированно приведёт к пропущенному варианту.

Путают вероятность источника и вероятность внутри источника. В формуле полной вероятности их надо перемножать, а не складывать.

Не проверяют результат. Вероятность лежит от 0 до 1. Получилось больше единицы — точно ошибка, скорее всего сложили там, где надо было умножить.

Как готовиться

• Учи задания 4 и 5 вместе. Это одна тема, разделённая на два номера, и по отдельности они учатся хуже
• Разбери три сюжета выше по очереди — серия испытаний, два объекта, два источника. Ими закрывается основная масса прототипов
• Реши 25–30 прототипов из открытого банка ФИПИ блоком
• Заведи правило рисовать дерево, пока схема не станет очевидной. Потом сможешь и без него
• Отдельно прогони все задачи со словами «хотя бы» — это отдельный подтип со своим приёмом

Неделя-полторы на задания 4 и 5 вместе. Дальше стоит сразу заглянуть в новое задание 6: случайные величины опираются ровно на этот же аппарат, и после пятого оно идёт заметно легче.

Что дальше

• Задание 1: планиметрия
• Задание 2: векторы
• Задание 3: стереометрия
• Задание 4: теория вероятностей

Почему здесь особенно легко застрять ✌️

У задания 5 неприятное свойство: ошибка в выборе формулы выглядит как правильное решение. Ты сложил вместо умножения, получил красивое число в диапазоне от 0 до 1, записал ответ и ушёл довольным. Проверить себя по ответу невозможно — ответ похож на настоящий.

Именно поэтому в вероятности так важна внешняя проверка: не «правильно ли посчитано», а «правильно ли выбрана схема». Сам себя на этом поймать почти нельзя.

На РепетХаб можно найти репетитора по математике, который поставит выбор схемы на автомат.

• Сервис для тебя бесплатный — ноль рублей за поиск, сообщения и отклики.
• Первое занятие — бесплатно. Можно попробовать и спокойно не продолжать.
• Пиши сразу нескольким и выбирай, с кем понятнее.
• Мини-группы на 3–5 человек — заметно дешевле индивидуальных занятий, а в вероятности разбор чужих ошибок особенно полезен: чужую перепутанную схему видно гораздо лучше своей.
• Честные отзывы и рейтинг — их оставляют только те, кто действительно занимался.

Найти репетитора по математике ✌️