Задание 2 ЕГЭ по профильной математике: как решать векторы

Если бы нужно было назвать самое дешёвое задание профильного ЕГЭ — то, которое даёт балл за минимальные вложения времени, — это было бы задание 2.

Векторы не требуют идей. Они требуют четырёх формул и аккуратности в арифметике. Ученик, у которого шатается вся математика, всё равно может закрыть задание 2 за пару вечеров.

Задание 2 — единственное место в первой части, где решение почти всегда сводится к подстановке в формулу.

Про 2027 год: 28 августа 2026 года ФИПИ опубликовал проекты демоверсий ЕГЭ-2027. Заданий стало 20 вместо 19, максимум — 33 балла вместо 32, в первую часть добавили новые задания 6 и 13. Новое задание встало на позицию 6, так что задание 2 осталось векторами и содержательно не изменилось.

Что нужно знать

Весь необходимый аппарат помещается в десять строк.

Координаты вектора. Если A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), то вектор AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁).

Из конца вычитаем начало. Не наоборот. Это ошибка номер один во всём задании.

Длина вектора. Если a = (x; y), то |a| = √(x² + y²).

Скалярное произведение — две формулы, и обе нужны:

• Через координаты: a · b = x₁x₂ + y₁y₂
• Через длины и угол: a · b = |a| · |b| · cos φ

Угол между векторами. Приравниваем две формулы выше:

cos φ = (x₁x₂ + y₁y₂) / (√(x₁² + y₁²) · √(x₂² + y₂²))

Два признака, которые спрашивают чаще всего:

• Векторы перпендикулярны ⟺ их скалярное произведение равно нулю
• Векторы коллинеарны ⟺ x₁y₂ − x₂y₁ = 0, то есть координаты пропорциональны

Операции. Сложение и вычитание — покоординатно. Умножение на число — покоординатно.

Всё. Это полный набор.

Типы задач и как их решать

Найти длину вектора или расстояние между точками. Прямая подстановка в формулу длины.

Найти скалярное произведение. Если даны координаты — перемножаем и складываем. Если даны длины и угол — вторая формула. Определи, что у тебя на руках, и бери соответствующую формулу.

Найти угол между векторами. Считаем скалярное произведение, считаем обе длины, делим. Получается косинус — дальше по таблице стандартных значений.

Векторы в геометрической фигуре. Даны вершины квадрата, треугольника, правильного шестиугольника — нужно найти сумму или произведение векторов. Приём один: введи координаты. Помести фигуру в систему координат так, чтобы одна вершина была в начале, и посчитай координаты остальных. Дальше задача становится арифметической.

Это главный универсальный ход всего задания 2: что угодно сводится к координатам.

Сумма векторов по правилу многоугольника. Полезно помнить: если векторы образуют замкнутую ломаную, их сумма — нулевой вектор. В правильном n-угольнике сумма векторов из центра к вершинам равна нулю. Такие задачи решаются мгновенно, если этот факт знаешь, и не решаются вовсе, если нет.

Где теряют балл

Считают координаты вектора наоборот. Начало минус конец вместо конца минус начало. Знак переворачивается, ответ неверный. Проверяй направление каждый раз.

Путают скалярное произведение с произведением длин. Скалярное произведение — число, и оно может быть отрицательным. Если угол тупой, произведение отрицательное — это нормально, а не признак ошибки.

Забывают квадратный корень в длине. Посчитали x² + y², записали в ответ. Классика невнимательности.

Ошибаются со знаками при отрицательных координатах. Самый частый источник арифметических потерь. Минус на минус — плюс, и это надо отследить в каждом слагаемом.

Не проверяют косинус на допустимость. Если получился косинус больше 1 или меньше −1 — где-то арифметическая ошибка. Это бесплатная проверка, которая занимает секунду.

Как готовиться

Задание 2 закрывается быстрее всех остальных. Реалистичный план:

• Выпиши четыре формулы на карточку. Координаты, длина, скалярное произведение, коллинеарность
• Реши 15–20 прототипов из открытого банка ФИПИ подряд. Именно блоком
• Отдельно потренируй задачи с фигурами — те, где нужно самому вводить координаты. Это единственное место, где есть что осваивать
• Прогони блок ещё раз через месяц — и можно забыть об этом задании до экзамена

Два-три вечера в сумме. При этом балл ровно такой же, как за задание 12 или 13, на которые уходят недели.

Стратегический смысл

Первая часть — задания 1–13, по одному баллу каждое, всего 13 баллов из 33. Вторая часть — семь заданий на 20 баллов.

Отсюда неочевидный вывод: выжатая до нуля первая часть стоит больше, чем две-три случайно взятые задачи второй. А внутри первой части задание 2 — самое дешёвое по времени подготовки.

Логика простая: сначала забери всё, что берётся дёшево, потом трать время на дорогое.

Что дальше

• Задание 1: планиметрия
• Задание 3: стереометрия
• Задание 4: теория вероятностей
• Задание 5: теоремы о вероятностях

Если не сходится арифметика ✌️

У векторов есть коварная особенность: формулы понятны сразу, а балл всё равно не берётся — потому что теряется знак, путается направление или пропадает корень. Это не «непонимание темы», это отсутствие отработанного навыка, и лечится оно только внешней проверкой: пока никто не показал, где именно ты систематически ошибаешься, ты будешь повторять одну и ту же ошибку.

На РепетХаб можно найти репетитора по математике, который найдёт твои повторяющиеся ошибки за одно-два занятия.

• Сервис для тебя бесплатный — ноль рублей за поиск, сообщения и отклики.
• Первое занятие — бесплатно. Можно попробовать и спокойно не продолжать.
• Пиши сразу нескольким и выбирай, с кем понятнее.
• Мини-группы на 3–5 человек — заметно дешевле индивидуальных занятий.
• Честные отзывы и рейтинг — их оставляют только те, кто действительно занимался.

Найти репетитора по математике ✌️