Задание 3 ЕГЭ по профильной математике: как решать стереометрию

У задания 3 есть одна ошибка, которая стоит балла чаще всех остальных вместе взятых:

Размеры увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличился объём? Не в 3. В 27.

Линейные размеры растут как k, площади — как k², объёмы — как k³. Кто это помнит, решает половину прототипов задания 3 устно. Кто не помнит, теряет балл на задаче, которая не требовала вычислений вообще.

Про 2027 год: 28 августа 2026 года ФИПИ опубликовал проекты демоверсий ЕГЭ-2027. Заданий стало 20 вместо 19, максимум — 33 балла вместо 32, в первую часть добавлены новые задания 6 и 13. Новое задание встало на позицию 6, поэтому задание 3 осталось стереометрией без изменений.

Что нужно знать наизусть

Формулы объёмов и площадей поверхностей рассчитывай знать на память. Список короткий.

Многогранники

• Куб: V = a³, полная поверхность S = 6a²
• Прямоугольный параллелепипед: V = abc
• Призма: V = S_осн · h
• Пирамида: V = ⅓ · S_осн · h

Тела вращения

• Цилиндр: V = πR²h, боковая поверхность S = 2πRh
• Конус: V = ⅓πR²h, боковая поверхность S = πRl, где l — образующая
• Шар: V = ⁴⁄₃πR³, поверхность S = 4πR²

Связь в конусе: l² = R² + h². Образующая, радиус и высота образуют прямоугольный треугольник — это нужно почти в каждой задаче про конус.

Подобие

• Линейные размеры — k
• Площади — k²
• Объёмы — k³

Последний блок и есть главный источник и лёгких баллов, и лёгких потерь.

Типы задач

Прямая подстановка. Даны размеры — найди объём. Самый простой случай, ошибиться можно только в арифметике.

Изменение размеров. «Все рёбра увеличили в 2 раза», «радиус уменьшили втрое, высоту удвоили». Решается без единого вычисления, если помнишь степени. Если в условии разные множители для разных измерений — просто перемножь их: удвоили радиус и утроили высоту, значит объём цилиндра вырос в 2² · 3 = 12 раз.

Отсечение части. От параллелепипеда или пирамиды отрезали кусок — найди объём оставшегося. Приём: считай не остаток напрямую, а целое минус отсечённое. Почти всегда проще.

Составные тела. Тело из двух фигур — разбей на части, посчитай по отдельности, сложи.

Вписанные и описанные тела. Шар в кубе, конус в цилиндре, цилиндр в призме. Здесь всё решает связь размеров: например, у шара, вписанного в куб с ребром a, диаметр равен a, то есть R = a/2. Нарисуй осевое сечение — связь сразу становится видна.

Пирамида и призма с общим основанием. Если у них одно основание и одна высота, объём пирамиды втрое меньше. Это даёт мгновенный ответ в целом классе задач.

Алгоритм

• Определи, что за тело. И что именно спрашивают: объём, площадь поверхности, боковую поверхность
• Нарисуй. Даже схематично. Для тел вращения рисуй осевое сечение — плоская картинка вместо объёмной сразу упрощает задачу
• Выпиши формулу целиком, прежде чем подставлять числа
• Найди недостающие величины. Обычно через прямоугольный треугольник внутри тела
• Подставь и посчитай
• Проверь порядок величины. Объём куба со стороной 3 не может быть равен 9

Где теряют балл

Забывают про куб и квадрат в подобии. Уже сказано, но это правда причина номер один.

Путают радиус и диаметр. В условии часто дают диаметр, а в формулу нужен радиус. Половинь сразу, как только прочитал.

Путают образующую и высоту конуса. Это разные величины, связанные теоремой Пифагора. Подставить одно вместо другого — самая частая ошибка в конусах.

Забывают коэффициент ⅓ у пирамиды и конуса. Механическая ошибка, но встречается постоянно.

Считают полную поверхность вместо боковой. Читай условие: спрашивают боковую или полную? Разница — площадь оснований.

Теряют π. Иногда ответ нужно дать «в π», иногда числом. Смотри, что просят.

Как готовиться

• Один лист с формулами. Все объёмы и поверхности от руки на одну страницу. Повесь над столом
• Отдельно отработай блок на подобие. Задачи «во сколько раз изменится» решаются за секунды и составляют заметную долю прототипов. Это самый выгодный час подготовки
• Реши 20–25 прототипов из открытого банка ФИПИ подряд
• Натренируй осевые сечения. Для конуса, цилиндра и шара это универсальный ход, который переводит стереометрию в планиметрию
• Возвращайся раз в месяц. Формулы объёмов вылетают из головы быстро

Неделя работы — и задание закрыто стабильно.

Что дальше

• Задание 1: планиметрия
• Задание 2: векторы
• Задание 4: теория вероятностей
• Задание 5: теоремы о вероятностях

Если не получается увидеть фигуру ✌️

У стереометрии есть отдельная трудность, которой нет у алгебры: нужно представить объёмное тело по плоскому рисунку. Это навык, и он развивается неравномерно — кому-то даётся сразу, кому-то требуется время и правильные подсказки.

Причём здесь особенно бесполезно «решать больше задач»: если ты не видишь, где внутри конуса прячется прямоугольный треугольник, ты не увидишь его и на тридцатой задаче. Нужно, чтобы кто-то один раз показал, как смотреть.

На РепетХаб можно найти репетитора по математике, который разберёт стереометрию по-человечески.

• Сервис для тебя бесплатный — ноль рублей за поиск, сообщения и отклики.
• Первое занятие — бесплатно. Можно попробовать и спокойно не продолжать.
• Пиши сразу нескольким и выбирай, с кем понятнее.
• Мини-группы на 3–5 человек — заметно дешевле индивидуальных занятий.
• Честные отзывы и рейтинг — их оставляют только те, кто действительно занимался.

Найти репетитора по математике ✌️